Уроженец г. Краснодара. После окончания школы поступил в Харьковское театральное училище, с третьего курса которого в октябре 1940 года был призван в ряды Красной Армии в 625-й батальон авиационного обслуживания в звании — рядовой. В годы Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. красноармеец Бессчетнов в составе агитбригад и красноармейской художественной самодеятельности неоднократно бывал с выступлениями в частях действующей армии, был активным участником красноармейской художественной самодеятельности.
С 9 августа по 3 сентября 1945 года участвовал в боевых событиях в Японии, был награжден медалями «За Победу над Германией», «За Победу над Японией».
В 1963 году Бессчетнов Г.А. был приглашен в труппу Липецкого драматического театра режиссером-постановщиком театра Народным артистом РСФСР, Лауреатом государственной премии М. Герштом, где прослужил около 30 лет.
Указом Президиума Верховного Совета РСФСР от 1 октября 1971 года Бессчетнову Георгию Андреевичу было присвоено почетное звание «Заслуженный артист РСФСР».
До последнего дня Георгий Андреевич работал в театре. 30 июля 1991 года его не стало. Похоронен артист Бессчетнов Г.А. в г. Липецке.
ОКУ ГАЛО. Ф.Р-2626.Оп.1.Предисловие к описи.
Красноармейская книжка . Ф.Р-2626.Оп.1.Д.15 
Сцена из спектакля. Ф.Р-2626.Оп.2.Д.12 
Фото из чл. билета СТД. 1989. 
Членский билет СТД СССР. 1989. Ф.Р-2626.Оп.1.Д.19